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<!DOCTYPE html>

<title>Winkelgeschwindigkeit</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Winkelgeschwindigkeit</h1>

</header>

</div>

<th colspan="2" style="background:#ABCDEF; color:inherit;"><a href="Physikalische_Gr%C3%B6%C3%9Fe" title="Physikalische Größe">Physikalische Größe</a>

</th></tr>

<tr>

<td style="width:130px;">Name

</td>

<td>Winkelgeschwindigkeit, Rotationsgeschwindigkeit, Drehgeschwindigkeit

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Formelzeichen" title="Formelzeichen">Formelzeichen</a>

</td>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}}</annotation>

</semantics>

</td></tr>

<tr>

<td>Abgeleitet von

</td>

<td><a href="Winkel" title="Winkel">Winkel</a>

</td></tr>

<tr>

<th><a href="Gr%C3%B6%C3%9Fensystem" title="Größensystem">Größen-</a> und <a href="Einheitensystem" title="Einheitensystem">Einheitensystem</a>

</th>

<th><a href="Ma%C3%9Feinheit" title="Maßeinheit">Einheit</a>

</th>

<th><a href="Dimension_(Gr%C3%B6%C3%9Fensystem)" title="Dimension (Größensystem)">Dimension</a>

</th></tr>

<tr>

</td>

<td><a href="Radiant_(Einheit)" title="Radiant (Einheit)">rad</a>·<a href="Sekunde" title="Sekunde">s</a>−1

</td>

<td><a href="Zeit" title="Zeit">T</a>−1

</td></tr>

</tbody></table>

</td></tr>

</tbody></table>

Die Winkelgeschwindigkeit ist in der <a href="Physik" title="Physik">Physik</a> eine <a href="Vektor" title="Vektor">vektorielle</a> <a href="Physikalische_Gr%C3%B6%C3%9Fe" title="Physikalische Größe">Größe</a>, die angibt, wie schnell sich ein <a href="Winkel" title="Winkel">Winkel</a> mit der <a href="Zeit" title="Zeit">Zeit</a> um eine Achse ändert. Ihr Formelzeichen ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\omega }}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}}</annotation>

</semantics>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe9f7c60c2aa827c030e2650efaffdf01fd8d042.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.217ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}}" loading="lazy">. Sie spielt insbesondere bei <a href="Rotation_(Physik)" title="Rotation (Physik)">Rotationen</a> eine Rolle und wird dann auch als Rotationsgeschwindigkeit oder Drehgeschwindigkeit bezeichnet. In vielen Fällen, bei denen sich die Richtung der Drehachse im Bezugssystem nicht ändert, reicht die <a href="Skalar_(Mathematik)" title="Skalar (Mathematik)">skalare</a> Verwendung als Betrag des Vektors aus.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definitionen">Definitionen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Winkelgeschwindigkeit">Winkelgeschwindigkeit</h3></div>

Die Winkelgeschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\omega }}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4e066a68ceb355e3314fb2b97f1c0c421ca6074.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}}" loading="lazy"> wird durch einen <a href="Pseudovektor" title="Pseudovektor">Pseudovektor</a> dargestellt, der die Richtung der Drehachse und die Schnelligkeit der Rotationsbewegung angibt; sie gilt für jeden Punkt des rotierenden Systems, ihr Vektor ist nicht nur in der Rotationsachse platziert. Die Richtung des Pseudovektors ist so orientiert, dass sie gemäß der <a href="Korkenzieherregel" title="Korkenzieherregel">Korkenzieherregel</a> die Rotationsrichtung angibt. Der <a href="Vektor#Länge/Betrag_eines_Vektors" title="Vektor">Betrag</a> der Winkelgeschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega =\left|{\vec {\omega }}\right|}">

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega =\left|{\vec {\omega }}\right|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8213afe2de04d44845f4bdf3b5f8abec2b5412f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.284ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \omega =\left|{\vec {\omega }}\right|}" loading="lazy"> ist gleich der <a href="Differentialrechnung" title="Differentialrechnung">Ableitung</a> des Rotationswinkels <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> nach der Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy">:

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega ={\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}\;.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/756dfe83c26e203b9c658d1bd4f6293443501214.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:9.485ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \omega ={\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}\;.}" loading="lazy"></dd></dl>

Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit gilt daher

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/689caf6d9f39dbc57a3d4ee99c82c98e31193e72.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:7.875ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}}" loading="lazy">,</dd></dl>

denn in der Umlaufzeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> wird der Winkel 2<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }" loading="lazy"> durchlaufen.

Bei einer ebenen Kreisbewegung ändert sich die Richtung der momentanen Bahngeschwindigkeit eines Punktes mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit wie der Radiusvektor des Punktes. Bei einer im Raum gekrümmten Bahnkurve gilt dies für den momentanen Krümmungskreis. Die Änderung der Richtung der Bahngeschwindigkeit kann man daher genauso gut zu einer Definition der Winkelgeschwindigkeit nutzen. Sie ergibt sich direkt aus den Daten der Bahn und erfordert keine Bestimmung einer Drehachse.

Der Betrag <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"> der Winkelgeschwindigkeit wird meist bei Vorgängen verwendet, bei denen sich die Drehachse nicht ändert. Eine Änderung von Richtung oder Betrag der Winkelgeschwindigkeit ist Folge einer <a href="Winkelbeschleunigung" title="Winkelbeschleunigung">Winkelbeschleunigung</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bahngeschwindigkeit">Bahngeschwindigkeit</h3></div>

Jeder Punkt des rotierenden Systems beschreibt eine Kreisbahn, deren Ebene senkrecht zur Drehachse liegt. Die Bahn- oder Umlaufgeschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85820588abd7333ef4d0c56539cb31c20e730753.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.175ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}}" loading="lazy"> des Punktes auf diesem Kreis ist dem Betrag nach

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v=\omega \,r_{\perp }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8376d7d3c807d9326608de8d43394fed9aa57ece.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.618ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle v=\omega \,r_{\perp }}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{\perp }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{\perp }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/20b303385f918a4189371be2f509566cab54ab99.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.559ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{\perp }}" loading="lazy"> der Radius der Kreisbewegung ist. Denn zur infinitesimalen Zeitspanne <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} t}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/588a981eb3c6f32c01153f8710a7f70029b5e553.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.132ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} t}" loading="lazy"> gehört der infinitesimale Weg <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} s=r_{\perp }\,\mathrm {d} \varphi =r_{\perp }\,\omega \,\mathrm {d} t}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} s=r_{\perp }\,\mathrm {d} \varphi =r_{\perp }\,\omega \,\mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7b3fc466d7a74d9b40ff242ae9dbf25bab9728d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.251ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} s=r_{\perp }\,\mathrm {d} \varphi =r_{\perp }\,\omega \,\mathrm {d} t}" loading="lazy">.

Liegt der Ursprung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d70e1d0d87e2ef1092ea1ffe2923d9933ff18fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.773ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle O}" loading="lazy"> des Koordinatensystems auf der Drehachse, dann ist die Bahngeschwindigkeit nach Richtung und Betrag gleich dem <a href="Kreuzprodukt" title="Kreuzprodukt">Kreuzprodukt</a> aus Winkelgeschwindigkeit und Ortsvektor:

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eac5e5f9551ad9a2c8a68ff050352a2f2ec34783.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.783ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}}" loading="lazy">,</dd></dl>

denn der Abstand von der Achse ist

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{\perp }=r\,\mathrm {sin} \vartheta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/36a3c594ea2994adc7c32c840f08464997deae49.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.323ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle r_{\perp }=r\,\mathrm {sin} \vartheta }" loading="lazy"></dd></dl>

mit dem <a href="Polarwinkel" class="mw-redirect" title="Polarwinkel">Polarwinkel</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \vartheta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vartheta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d00eaf197c35bbfa391b9477490a4af955416837.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.374ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \vartheta }" loading="lazy">, der den konstant bleibenden Winkelabstand zwischen der Drehachse und dem Ortsvektor zum betrachteten Punkt angibt.

Diese Betrachtung der Änderungsgeschwindigkeit des Ortsvektors gilt für jeden Vektor, der einer Drehung unterworfen ist, z. B. für die Basisvektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {e}}'_{i}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {e}}'_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bad4ad9ac63bca00ec49ae97c1d3e776d6978ff2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.023ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {e}}'_{i}}" loading="lazy"> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i\in \{x,y,z\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i\in \{x,y,z\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7dd7b211f630dfb50ad258030f3cb39b0303237f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.609ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle i\in \{x,y,z\}}" loading="lazy">) eines <a href="Rotierendes_Bezugssystem" class="mw-redirect" title="Rotierendes Bezugssystem">rotierenden Bezugssystems</a>. Deren Änderungsgeschwindigkeit ist

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {e}}'_{i}}{\mathrm {d} t}}\,=\,{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}'_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4a86b368b8847e8198c3107662032a498a3f132.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:14.333ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {e}}'_{i}}{\mathrm {d} t}}\,=\,{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}'_{i}}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Abgrenzung_zur_Kreisfrequenz">Abgrenzung zur Kreisfrequenz</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Kreisfrequenz" title="Kreisfrequenz">Kreisfrequenz</a></div>

Obwohl die <a href="Kreisfrequenz" title="Kreisfrequenz">Kreisfrequenz</a> und die Winkelgeschwindigkeit mit demselben Formelzeichen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"> bezeichnet werden und obwohl sie in derselben Einheit gemessen werden, handelt es sich um zwei verschiedene physikalische Größen.

Die Winkelgeschwindigkeit gibt die Änderungsrate eines geometrischen Winkels an und wird im Zusammenhang von Drehbewegungen verwendet.

Die Kreisfrequenz dagegen ist eine abstrakte Größe im Kontext von Schwingungen.<a href="#cite_note-KnaebelJäger2009-1">[1]</a> Eine Schwingung kann mathematisch durch einen rotierenden Zeiger dargestellt werden (siehe <a href="Zeigermodell" title="Zeigermodell">Zeigermodell</a>). Der Winkel des Zeigers wird als Phase oder Phasenwinkel bezeichnet.<a href="#cite_note-2">[2]</a> Die Änderungsgeschwindigkeit dieses Phasenwinkels ist die Kreisfrequenz. Sie ist also – wie auch die <a href="Frequenz" title="Frequenz">Frequenz</a> – ein Maß dafür, wie schnell eine Schwingung abläuft und hat – abgesehen von der Rotation des gedachten Zeigers – nichts mit einer Drehbewegung zu tun.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Winkelgeschwindigkeit_des_Sehstrahls">Winkelgeschwindigkeit des Sehstrahls</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ebene_Bewegung">Ebene Bewegung</h3></div>

Der Geschwindigkeitsvektor v eines Teilchens P relativ zu einem Beobachter O kann in <a href="Polarkoordinaten" title="Polarkoordinaten">Polarkoordinaten</a> zerlegt werden. Die <a href="Radialgeschwindigkeit" title="Radialgeschwindigkeit">radiale Komponente</a> des Geschwindigkeitsvektors ändert die Richtung des <a href="Fahrstrahl" class="mw-redirect" title="Fahrstrahl">Sehstrahls</a> nicht. Zwischen der <a href="Tangentialgeschwindigkeit" class="mw-redirect" title="Tangentialgeschwindigkeit">tangentialen Komponente</a> und der Winkelgeschwindigkeit des Sehstrahls besteht die Beziehung:

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {v} _{\perp }={\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t}}\,r=\omega \cdot r\;.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84f2a668cc4fbbc6bf90e8c18cfb6263d1dfaf0e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:19.351ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {v} _{\perp }={\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t}}\,r=\omega \cdot r\;.}" loading="lazy"></dd></dl>

Es ist anzumerken, dass die Winkelgeschwindigkeit des Sehstrahls vom (willkürlich) gewählten Ort des Beobachters abhängt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Räumliche_Bewegung">Räumliche Bewegung</h3></div>

In drei Dimensionen ist die Winkelgeschwindigkeit durch ihren Betrag und ihre Richtung gekennzeichnet.

Wie im zweidimensionalen Fall hat das Teilchen eine Komponente seines Geschwindigkeitsvektors in Richtung des Radiusvektors und eine weitere senkrecht dazu. Die <a href="Parameterform#Parameterform_einer_Ebenengleichung" title="Parameterform">Ebene</a> mit Stützvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {0}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {0}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e76498919cf387316fc79d04120c59a8d430ef36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {0}}}" loading="lazy"> (Ort des Beobachters) und Richtungsvektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6aec3c9ce13b53e9e24c98e7cce4212627884c91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}_{\perp }}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}_{\perp }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0eed1b095603ff25c815620f3c0e88f215798ec0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.686ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}_{\perp }}" loading="lazy"> definiert eine Rotationsebene, in der das Verhalten des Teilchens für einen Augenblick wie im zweidimensionalen Fall erscheint. Die Rotationsachse ist dann senkrecht zu dieser Ebene und definiert die Richtung des Vektors der momentanen Winkelgeschwindigkeit. Radius- und Geschwindigkeitsvektor werden als bekannt vorausgesetzt. Es gilt dann:

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {{\vec {r}}\times {\vec {v}}}{|{\vec {r}}|^{2}}}\;.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/22fe2de766d6c6756db771be90215e45430494e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:11.911ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {{\vec {r}}\times {\vec {v}}}{|{\vec {r}}|^{2}}}\;.}" loading="lazy"></dd></dl>

Auch hier gilt, dass die so berechnete Winkelgeschwindigkeit vom (willkürlich) gewählten Ort des Beobachters abhängt.

Zum Beispiel ergibt sich in <a href="Zylinderkoordinaten" class="mw-redirect" title="Zylinderkoordinaten">Zylinderkoordinaten</a> (ρ, φ, z) mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}={\begin{pmatrix}\rho \cos \varphi \\\rho \sin \varphi \\z\end{pmatrix}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}={\begin{pmatrix}\rho \cos \varphi \\\rho \sin \varphi \\z\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/016575822c5bda0d2d666d7240fc8248d51e9c05.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:15.747ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}={\begin{pmatrix}\rho \cos \varphi \\\rho \sin \varphi \\z\end{pmatrix}}}" loading="lazy"> und daraus berechnetem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {r}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {r}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e643cae69386e74aa69ba0787cdb7be132f837b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:8.465ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {r}}}" loading="lazy">:

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

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</mrow>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\rho }^{2}+z^{2}){\vec {\omega }}={\dot {\rho }}z{\hat {e}}_{\varphi }+{\dot {\varphi }}(-z\rho {\hat {e}}_{\rho }+\rho ^{2}{\hat {e}}_{z})-{\dot {z}}\rho {\hat {e}}_{\varphi }\;.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3ae5cf45c6d237037e149b1ac96ae12acaa1ff7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:47.933ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle ({\rho }^{2}+z^{2}){\vec {\omega }}={\dot {\rho }}z{\hat {e}}_{\varphi }+{\dot {\varphi }}(-z\rho {\hat {e}}_{\rho }+\rho ^{2}{\hat {e}}_{z})-{\dot {z}}\rho {\hat {e}}_{\varphi }\;.}" loading="lazy"></dd></dl>

Dabei sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {e}}_{\rho },{\hat {e}}_{\varphi },{\hat {e}}_{z}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {e}}_{\rho },{\hat {e}}_{\varphi },{\hat {e}}_{z}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c6c5390e42b047a9d176abba1c9625fc7ed0ac2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.334ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {e}}_{\rho },{\hat {e}}_{\varphi },{\hat {e}}_{z}}" loading="lazy"> die Basisvektoren zu <a href="Polarkoordinaten#Zylinderkoordinaten" title="Polarkoordinaten">Zylinderkoordinaten</a>.

In <a href="Kugelkoordinaten" title="Kugelkoordinaten">Kugelkoordinaten</a> (r, θ, φ) folgt analog

<mover>

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</mrow>

</mrow>

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</mrow>

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<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}=-{\dot {\varphi }}\sin \theta {\hat {e}}_{\theta }+{\dot {\theta }}{\hat {e}}_{\varphi }\;.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6245cf61e845a0c93df583984e504411c7b54f14.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:22.989ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}=-{\dot {\varphi }}\sin \theta {\hat {e}}_{\theta }+{\dot {\theta }}{\hat {e}}_{\varphi }\;.}" loading="lazy">

Eine Anwendung ist die Relativbewegung von Objekten in der Astronomie (siehe <a href="Eigenbewegung_(Astronomie)" title="Eigenbewegung (Astronomie)">Eigenbewegung (Astronomie)</a>).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Winkelgeschwindigkeit_bei_speziellen_Bewegungsansätzen">Winkelgeschwindigkeit bei speziellen Bewegungsansätzen</h2></div>

Bei der Rotation von Körpern können Winkel zur Parametrisierung der Bewegung eingesetzt werden. Im Folgenden wird eine Auswahl häufig genutzter Ansätze beschrieben.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Euler-Winkel_in_der_z-y′-x″-Konvention">Euler-Winkel in der z-y′-x″-Konvention</h3></div>

Im Fahrzeug- oder Flugzeugbau wird die Orientierung des fahrzeugfesten Systems relativ zum erdfesten System in <a href="Eulersche_Winkel" title="Eulersche Winkel">Euler-Winkeln</a> angegeben. Genormt sind drei aufeinander folgende Drehungen. Zuerst um die z-Achse des Systems g (Gierwinkel), dann um die y-Achse des gedrehten Systems (Nickwinkel) und schließlich um die x-Achse des körperfesten Koordinatensystems (Wank/Rollwinkel).

Die Winkelgeschwindigkeit des körperfesten Systems ergibt sich aus den Winkelgeschwindigkeiten um diese Achsen:

<mover>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}={\dot {\psi }}{\vec {u}}_{1}+{\dot {\theta }}{\vec {u}}_{2}+{\dot {\phi }}{\vec {u}}_{3}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33362f733e5b7bef49bc529c37350ec012635f7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.443ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}={\dot {\psi }}{\vec {u}}_{1}+{\dot {\theta }}{\vec {u}}_{2}+{\dot {\phi }}{\vec {u}}_{3}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Der <a href="%C3%9Cberpunkt#Als_wissenschaftliches_Symbol" title="Überpunkt">aufgesetzte Punkt</a> bezeichnet die Zeitableitung. Diese Basis ist nicht orthonormal. Die Einheitsvektoren können jedoch mit Hilfe von <a href="Drehmatrix#Drehmatrizen_des_Raumes_R3" title="Drehmatrix">Elementardrehungen</a> berechnet werden.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Euler-Winkel_in_der_z-x′-z″-Konvention">Euler-Winkel in der z-x′-z″-Konvention</h3></div>

In der <a href="Eulersche_Winkel#Roll-,_Nick-_und_Gierwinkel:_z-y′-x″-Konvention" title="Eulersche Winkel">Standard-x-Konvention (z, x′, z″)</a>, siehe Bild, wird zunächst mit dem Winkel α um die raumfeste z-Achse gedreht, dann mit dem Winkel β um die x-Achse in ihrer Lage nach der ersten Drehung (x′-Achse, im Bild die N-Achse) und schließlich mit dem Winkel γ um die z-Achse in deren Lage nach den beiden vorherigen Drehungen (Kurzzeichen z″, im Bild die Z-Achse).

Bezeichnen die Einheitsvektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {e}}_{x,y,z}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {e}}_{x,y,z}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7d7a78bec27761a9465409fca86057c20f218fde.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.965ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {e}}_{x,y,z}}" loading="lazy"> die raumfeste <a href="Standardbasis" title="Standardbasis">Standardbasis</a> (blau im Bild), dann lautet die Winkelgeschwindigkeit bezüglich der raumfesten Basis

<mtr>

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</mrow>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\omega }}=&{\dot {\alpha }}{\hat {e}}_{z}+{\dot {\beta }}[\cos(\alpha ){\hat {e}}_{x}+\sin(\alpha ){\hat {e}}_{y}]+{\dot {\gamma }}[\sin(\alpha )\sin(\beta ){\hat {e}}_{x}-\cos(\alpha )\sin(\beta ){\hat {e}}_{y}+\cos(\beta ){\hat {e}}_{z}]\\=&[{\dot {\beta }}\cos(\alpha )+{\dot {\gamma }}\sin(\alpha )\sin(\beta )]{\hat {e}}_{x}+[{\dot {\beta }}\sin(\alpha )-{\dot {\gamma }}\cos(\alpha )\sin(\beta )]{\hat {e}}_{y}+[{\dot {\alpha }}+{\dot {\gamma }}\cos(\beta )]{\hat {e}}_{z}.\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5209be930be99bac2d099ea2aa6f731c73bc5e21.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:84.733ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\omega }}=&{\dot {\alpha }}{\hat {e}}_{z}+{\dot {\beta }}[\cos(\alpha ){\hat {e}}_{x}+\sin(\alpha ){\hat {e}}_{y}]+{\dot {\gamma }}[\sin(\alpha )\sin(\beta ){\hat {e}}_{x}-\cos(\alpha )\sin(\beta ){\hat {e}}_{y}+\cos(\beta ){\hat {e}}_{z}]\\=&[{\dot {\beta }}\cos(\alpha )+{\dot {\gamma }}\sin(\alpha )\sin(\beta )]{\hat {e}}_{x}+[{\dot {\beta }}\sin(\alpha )-{\dot {\gamma }}\cos(\alpha )\sin(\beta )]{\hat {e}}_{y}+[{\dot {\alpha }}+{\dot {\gamma }}\cos(\beta )]{\hat {e}}_{z}.\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

In der bewegten Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {e}}_{X,Y,Z}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {e}}_{X,Y,Z}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ade3230514efb37174baefa3f99653c4618d75db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:6.281ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {e}}_{X,Y,Z}}" loading="lazy"> (rot im Bild) ergibt sich gleichbedeutend:

<mtr>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

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</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\omega }}=&{\dot {\alpha }}[\sin(\beta )\sin(\gamma ){\hat {e}}_{X}+\sin(\beta )\cos(\gamma ){\hat {e}}_{Y}+\cos(\beta ){\hat {e}}_{Z}]+{\dot {\beta }}[\cos(\gamma ){\hat {e}}_{X}-\sin(\gamma ){\hat {e}}_{Y}]+{\dot {\gamma }}{\hat {e}}_{Z}\\=&[{\dot {\alpha }}\sin(\beta )\sin(\gamma )+{\dot {\beta }}\cos(\gamma )]{\hat {e}}_{X}+[{\dot {\alpha }}\sin(\beta )\cos(\gamma )-{\dot {\beta }}\sin(\gamma )]{\hat {e}}_{Y}+[{\dot {\alpha }}\cos(\beta )+{\dot {\gamma }}]{\hat {e}}_{Z},\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/abeca5600d5ae91b5f6912eda75a07ec57840bce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:85.709ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\omega }}=&{\dot {\alpha }}[\sin(\beta )\sin(\gamma ){\hat {e}}_{X}+\sin(\beta )\cos(\gamma ){\hat {e}}_{Y}+\cos(\beta ){\hat {e}}_{Z}]+{\dot {\beta }}[\cos(\gamma ){\hat {e}}_{X}-\sin(\gamma ){\hat {e}}_{Y}]+{\dot {\gamma }}{\hat {e}}_{Z}\\=&[{\dot {\alpha }}\sin(\beta )\sin(\gamma )+{\dot {\beta }}\cos(\gamma )]{\hat {e}}_{X}+[{\dot {\alpha }}\sin(\beta )\cos(\gamma )-{\dot {\beta }}\sin(\gamma )]{\hat {e}}_{Y}+[{\dot {\alpha }}\cos(\beta )+{\dot {\gamma }}]{\hat {e}}_{Z},\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

siehe <a href="Eulersche_Kreiselgleichungen#Bewegungsfunktion_des_symmetrischen_Kreisels" class="mw-redirect" title="Eulersche Kreiselgleichungen">Bewegungsfunktion des symmetrischen Kreisels</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zylinderkoordinaten">Zylinderkoordinaten</h3></div>

Im <a href="Zylinderkoordinaten" class="mw-redirect" title="Zylinderkoordinaten">Zylinderkoordinatensystem</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\rho ,\varphi ,z)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\rho ,\varphi ,z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b915f15da61cb0537189d6795ab55d9377537056.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.687ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\rho ,\varphi ,z)}" loading="lazy"> lauten die Basisvektoren

<msub>

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</mrow>

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<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {e}}_{\rho }={\begin{pmatrix}\cos \varphi \\\sin \varphi \\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{\varphi }={\begin{pmatrix}-\sin \varphi \\\cos \varphi \\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{z}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d669a50f8d077ca381ee75a883bff9625eaf9930.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:51.515ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {e}}_{\rho }={\begin{pmatrix}\cos \varphi \\\sin \varphi \\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{\varphi }={\begin{pmatrix}-\sin \varphi \\\cos \varphi \\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{z}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Ändert sich der Winkel φ, dann entsteht die Winkelgeschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\omega }}={\dot {\varphi }}{\hat {e}}_{z}}">

<mover>

</mover>

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<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}={\dot {\varphi }}{\hat {e}}_{z}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4610824c46f1f0f467fd1b23376fd89dc4ef1f61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.372ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}={\dot {\varphi }}{\hat {e}}_{z}}" loading="lazy">. Mit ihr berechnen sich die Raten der Basisvektoren, beispielsweise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\hat {e}}}_{\rho }={\vec {\omega }}\times {\hat {e}}_{\rho }.}">

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</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\hat {e}}}_{\rho }={\vec {\omega }}\times {\hat {e}}_{\rho }.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2137c82ca5195126912f13aa9cba30aaa2e7a011.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:12.779ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\hat {e}}}_{\rho }={\vec {\omega }}\times {\hat {e}}_{\rho }.}" loading="lazy">

Dies ergibt sich aus den <a href="#Euler-Winkel_in_der_z-x′-z″-Konvention">Euler-Winkeln in der z-x′-z″-Konvention</a> mit

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kugelkoordinaten">Kugelkoordinaten</h3></div>

In <a href="Kugelkoordinaten" title="Kugelkoordinaten">Kugelkoordinaten</a> (r, φ, θ) können die Basisvektoren

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {e}}_{r}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi \\\cos \theta \end{pmatrix}},\qquad {\hat {e}}_{\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi \\\cos \theta \sin \varphi \\-\sin \theta \end{pmatrix}},\qquad {\hat {e}}_{\varphi }={\begin{pmatrix}-\sin \varphi \\\cos \varphi \\0\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/357f3467c184c23b27d7eb7bc85e1ad57e9352ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:68.958ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {e}}_{r}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi \\\cos \theta \end{pmatrix}},\qquad {\hat {e}}_{\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi \\\cos \theta \sin \varphi \\-\sin \theta \end{pmatrix}},\qquad {\hat {e}}_{\varphi }={\begin{pmatrix}-\sin \varphi \\\cos \varphi \\0\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

benutzt werden. Bei einer gemeinsamen Rotation dieser Basisvektoren mit variablen Winkeln φ und θ entsteht die Winkelgeschwindigkeit

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}={\begin{pmatrix}-{\dot {\theta }}\sin \varphi \\{\dot {\theta }}\cos \varphi \\{\dot {\varphi }}\end{pmatrix}}={\dot {\varphi }}\cos \theta {\hat {e}}_{r}-{\dot {\varphi }}\sin \theta {\hat {e}}_{\theta }+{\dot {\theta }}{\hat {e}}_{\varphi }.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3bf0df04489e7ca1ca352090b229cd1fa1267e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:48.383ex; height:10.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}={\begin{pmatrix}-{\dot {\theta }}\sin \varphi \\{\dot {\theta }}\cos \varphi \\{\dot {\varphi }}\end{pmatrix}}={\dot {\varphi }}\cos \theta {\hat {e}}_{r}-{\dot {\varphi }}\sin \theta {\hat {e}}_{\theta }+{\dot {\theta }}{\hat {e}}_{\varphi }.}" loading="lazy"></dd></dl>

Mit ihr berechnen sich die Raten der Basisvektoren, beispielsweise gemäß <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\hat {e}}}_{\theta }={\vec {\omega }}\times {\hat {e}}_{\theta }.}">

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\hat {e}}}_{\theta }={\vec {\omega }}\times {\hat {e}}_{\theta }.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/83ed3bd2c0a74a4195b41eb7cf4358a5018d5e9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.621ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\hat {e}}}_{\theta }={\vec {\omega }}\times {\hat {e}}_{\theta }.}" loading="lazy">

Dies ergibt sich aus den <a href="Eulersche_Winkel#Konventionen" title="Eulersche Winkel">Euler-Winkeln in der z-x′-z″-Konvention</a> mit α ≡ 0, β = φ und γ = θ sowie der zyklischen Vertauschung der Koordinatenrichtungen 123Euler → 312Kugel.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Winkelgeschwindigkeitstensoren">Winkelgeschwindigkeitstensoren</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definition_des_Winkelgeschwindigkeitstensors">Definition des Winkelgeschwindigkeitstensors</h3></div>

Das <a href="Kreuzprodukt" title="Kreuzprodukt">Kreuzprodukt</a> der Winkelgeschwindigkeit mit dem Ortsvektor kann als Vektortransformation des Ortsvektors durch den Winkelgeschwindigkeitstensor angesehen werden.

Denn eine reine Drehung von Vektoren wird durch <a href="Orthogonaler_Tensor" title="Orthogonaler Tensor">orthogonale Tensoren</a>, das sind <a href="Orthogonale_Abbildung" title="Orthogonale Abbildung">orthogonale Abbildungen</a> von Vektoren auf Vektoren, dargestellt: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}=\mathbf {Q} \cdot {\vec {X}}}">

<mover>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}=\mathbf {Q} \cdot {\vec {X}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/461801ba35074e0c26de0ae058f8a0bccebe51d5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.095ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}=\mathbf {Q} \cdot {\vec {X}}}" loading="lazy">, siehe Bild. Darin ist Q der orthogonale Tensor mit der Eigenschaft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {Q\cdot Q} ^{\top }=\mathbf {Q^{\top }\cdot Q} =\mathbf {1} }">

<msup>

</mrow>

</mrow>

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</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {Q\cdot Q} ^{\top }=\mathbf {Q^{\top }\cdot Q} =\mathbf {1} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/50ea35e1de6a99a10ec38cb188833ca31e790b6c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:21.945ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {Q\cdot Q} ^{\top }=\mathbf {Q^{\top }\cdot Q} =\mathbf {1} }" loading="lazy"> (1 ist der <a href="Einheitstensor" title="Einheitstensor">Einheitstensor</a>, das hochgestellte T bezeichnet die <a href="Transponierte_Matrix" title="Transponierte Matrix">Transposition</a>) und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db2dc6ced9cc3bc7e8b9f2707cbec033f6d3759c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}}" loading="lazy"> ist der Vektor, auf den der feste Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {X}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {X}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5dc35b5a0226cf11a2c3f2d2dbbac6ab5ade6036.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {X}}}" loading="lazy"> abgebildet wird. Zeitableitung ergibt:

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\vec {x}}}={\dot {\mathbf {Q} }}\cdot {\vec {X}}={\dot {\mathbf {Q} }}\cdot \mathbf {Q} ^{\top }\cdot {\vec {x}}=:\mathbf {\Omega } \cdot {\vec {x}}\;.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/deec903381e4124b877dad2369108413fc3374d9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:33.385ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\vec {x}}}={\dot {\mathbf {Q} }}\cdot {\vec {X}}={\dot {\mathbf {Q} }}\cdot \mathbf {Q} ^{\top }\cdot {\vec {x}}=:\mathbf {\Omega } \cdot {\vec {x}}\;.}" loading="lazy"></dd></dl>

Der hier auftretende Winkelgeschwindigkeitstensor Ω ist <a href="Schiefsymmetrische_Matrix" title="Schiefsymmetrische Matrix">schiefsymmetrisch</a> (Ω┬=−Ω) wegen

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\mathbf {1} }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {Q\cdot Q} ^{\top })={\dot {\mathbf {Q} }}\cdot \mathbf {Q} ^{\top }+\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}^{\top }=\mathbf {\Omega +\Omega } ^{\top }=\mathbf {0} \,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ab263c371132ae8978766b50ae250f9983f22392.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:53.819ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\mathbf {1} }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {Q\cdot Q} ^{\top })={\dot {\mathbf {Q} }}\cdot \mathbf {Q} ^{\top }+\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}^{\top }=\mathbf {\Omega +\Omega } ^{\top }=\mathbf {0} \,.}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Winkelgeschwindigkeitstensor_und_Winkelgeschwindigkeit">Winkelgeschwindigkeitstensor und Winkelgeschwindigkeit</h3></div>

Jeder schiefsymmetrische Tensor W besitzt einen dualen Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {w}}}">

<mover>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {w}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b6c48cdaecf8d81481ea21b1d0c046bf34b68ec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {w}}}" loading="lazy"> mit der Eigenschaft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {W} \cdot {\vec {x}}={\vec {w}}\times {\vec {x}}}">

</mrow>

<mover>

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</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {W} \cdot {\vec {x}}={\vec {w}}\times {\vec {x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1c85dd9b1dae60b5c5f3caaa813e8f188b7cbf67.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:14.704ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {W} \cdot {\vec {x}}={\vec {w}}\times {\vec {x}}}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}}</annotation>

</semantics>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\vec {x}}}=\mathbf {\Omega } \cdot {\vec {x}}={\vec {\omega }}\times {\vec {x}}\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f6ec4b2ed634c4a8884215a9f884bf9e48014173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:19.116ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\vec {x}}}=\mathbf {\Omega } \cdot {\vec {x}}={\vec {\omega }}\times {\vec {x}}\,.}" loading="lazy"></dd></dl>

Der duale Vektor

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</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\Omega _{ij}{\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/edb8b58ddeb69b613f5f91bb918cf7ee14c659e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:26.51ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\Omega _{ij}{\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j}}" loading="lazy"></dd></dl>

ist die negative Hälfte der <a href="Vektorinvariante" title="Vektorinvariante">Vektorinvariante</a> des Tensors und als solche ein <a href="Axialer_Vektor" class="mw-redirect" title="Axialer Vektor">axialer Vektor</a>. Die Koordinaten Ωij des Tensors Ω gehören zur <a href="Standardbasis" title="Standardbasis">Standardbasis</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {e}}_{1,2,3}.}">

<msub>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {e}}_{1,2,3}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/12714706a3960ba3f676d7a7f35781130fba0cca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:5.551ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {e}}_{1,2,3}.}" loading="lazy">

Umgekehrt kann der Winkelgeschwindigkeitstensor aus der Winkelgeschwindigkeit gewonnen werden:

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Omega } =&{\vec {\omega }}\times \mathbf {1} :=\sum _{i=1}^{3}\omega _{i}{\hat {e}}_{i}\times \sum _{k=1}^{3}{\hat {e}}_{k}\otimes {\hat {e}}_{k}:=\sum _{i=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\omega _{i}({\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{k})\otimes {\hat {e}}_{k}={\begin{pmatrix}0&-\omega _{3}&\omega _{2}\\\omega _{3}&0&-\omega _{1}\\-\omega _{2}&\omega _{1}&0\end{pmatrix}}\\\rightarrow \mathbf {\Omega } \cdot {\vec {x}}=&({\vec {\omega }}\times \mathbf {1} )\cdot {\vec {x}}:={\vec {\omega }}\times (\mathbf {1} \cdot {\vec {x}})={\vec {\omega }}\times {\vec {x}},\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06445e6246a6bbfdff9f2739e0891f9f653d0770.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.671ex; width:96.048ex; height:12.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Omega } =&{\vec {\omega }}\times \mathbf {1} :=\sum _{i=1}^{3}\omega _{i}{\hat {e}}_{i}\times \sum _{k=1}^{3}{\hat {e}}_{k}\otimes {\hat {e}}_{k}:=\sum _{i=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\omega _{i}({\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{k})\otimes {\hat {e}}_{k}={\begin{pmatrix}0&-\omega _{3}&\omega _{2}\\\omega _{3}&0&-\omega _{1}\\-\omega _{2}&\omega _{1}&0\end{pmatrix}}\\\rightarrow \mathbf {\Omega } \cdot {\vec {x}}=&({\vec {\omega }}\times \mathbf {1} )\cdot {\vec {x}}:={\vec {\omega }}\times (\mathbf {1} \cdot {\vec {x}})={\vec {\omega }}\times {\vec {x}},\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

vgl. <a href="Kreuzprodukt#Kreuzproduktmatrix" title="Kreuzprodukt">Kreuzproduktmatrix</a>. Das Rechenzeichen „<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \otimes }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \otimes }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de29098f5a34ee296a505681a0d5e875070f2aea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \otimes }" loading="lazy">“ bildet das <a href="Dyadisches_Produkt" title="Dyadisches Produkt">dyadische Produkt</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Winkelgeschwindigkeitstensor_bei_rotierenden_Vektorraumbasen">Winkelgeschwindigkeitstensor bei rotierenden Vektorraumbasen</h3></div>

Aus den Raten von Vektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {g}}_{1,2,3}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {g}}_{1,2,3}}</annotation>

</semantics>

Denn der Tensor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {G} :=\sum _{i=1}^{3}{\vec {g}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{i}}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {G} :=\sum _{i=1}^{3}{\vec {g}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f0cb111334cbbdbf2f89e05d6596be0cf90a321.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:16.494ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {G} :=\sum _{i=1}^{3}{\vec {g}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{i}}" loading="lazy">, in dem die Basisvektoren spaltenweise eingetragen sind, ist nach Voraussetzung invertierbar:

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

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</mrow>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\mathbf {G} |={\begin{vmatrix}{\vec {g}}_{1}&{\vec {g}}_{2}&{\vec {g}}_{3}\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}{\hat {e}}_{1}&{\hat {e}}_{2}&{\hat {e}}_{3}\end{vmatrix}}\neq 0.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/572988ffab4892e33c80164d45e93553f7ebf448.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.183ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\mathbf {G} |={\begin{vmatrix}{\vec {g}}_{1}&{\vec {g}}_{2}&{\vec {g}}_{3}\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}{\hat {e}}_{1}&{\hat {e}}_{2}&{\hat {e}}_{3}\end{vmatrix}}\neq 0.}" loading="lazy"></dd></dl>

Darin stehen die senkrechten Striche für die <a href="Determinante" title="Determinante">Determinante</a>, deren Nichtverschwinden die Invertierbarkeit garantiert. Im Fall einer gemeinsamen Starrkörperrotation der Basisvektoren folgt:

<msub>

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</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\vec {g}}}_{1,2,3}={\vec {\omega }}\times {\vec {g}}_{1,2,3}\quad \leftrightarrow \quad {\dot {\mathbf {G} }}={\vec {\omega }}\times \mathbf {G} =\mathbf {\Omega \cdot G} \quad \leftrightarrow \quad \mathbf {\Omega } ={\dot {\mathbf {G} }}\cdot \mathbf {G} ^{-1}\;.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf4c01b8711f761ce3ed49030c72e43b418975ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:68.44ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\vec {g}}}_{1,2,3}={\vec {\omega }}\times {\vec {g}}_{1,2,3}\quad \leftrightarrow \quad {\dot {\mathbf {G} }}={\vec {\omega }}\times \mathbf {G} =\mathbf {\Omega \cdot G} \quad \leftrightarrow \quad \mathbf {\Omega } ={\dot {\mathbf {G} }}\cdot \mathbf {G} ^{-1}\;.}" loading="lazy"></dd></dl>

Umgekehrt gilt: Wenn die Zeitableitung eines Tensors G, multipliziert mit seiner <a href="Inverse_Matrix" title="Inverse Matrix">Inversen</a> G−1, schiefsymmetrisch ist, dann können die Spaltenvektoren des Tensors als rotierende Basis aufgefasst werden. Im Fall, dass die Vektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {g}}_{1,2,3}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {g}}_{1,2,3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54c4e62024b29bed4226a28284a74d6485307f95.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:4.787ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {g}}_{1,2,3}}" loading="lazy"> eine <a href="Orthonormalbasis" title="Orthonormalbasis">Orthonormalbasis</a> bilden, ist der Tensor G orthogonal und es ergibt sich die schon erwähnte Beziehung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {\Omega } ={\dot {\mathbf {G} }}\cdot \mathbf {G} ^{\top }.}">

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {\Omega } ={\dot {\mathbf {G} }}\cdot \mathbf {G} ^{\top }.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e29078531700b0b7bee25305e0c284ad2e1831ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.068ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {\Omega } ={\dot {\mathbf {G} }}\cdot \mathbf {G} ^{\top }.}" loading="lazy">

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Exponential_des_Winkelgeschwindigkeitstensors">Exponential des Winkelgeschwindigkeitstensors</h3></div>

Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit ist der Winkelgeschwindigkeitstensor ebenfalls konstant. Dann kann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\mathbf {G} }}=\mathbf {\Omega \cdot G} }">

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\mathbf {G} }}=\mathbf {\Omega \cdot G} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/34b4148d7440679c1cd8fea50e78bbdc3f3db7b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.91ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\mathbf {G} }}=\mathbf {\Omega \cdot G} }" loading="lazy"> bei gegebenen Anfangswert G(t=0) über die Zeit integriert werden mit dem Ergebnis:

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {G} (t)=\exp(\mathbf {\Omega } t)\cdot \mathbf {G} (t=0).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/39028c5dd540e971b75b1538608420b45920d607.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.317ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {G} (t)=\exp(\mathbf {\Omega } t)\cdot \mathbf {G} (t=0).}" loading="lazy"></dd></dl>

Denn die ersten vier Potenzen von Ω berechnen sich mit der <a href="Kreuzprodukt#Graßmann-Identität" title="Kreuzprodukt">BAC-CAB-Formel</a> zu

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</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\omega }}=&\omega {\hat {n}}\quad {\text{mit}}\quad |{\hat {n}}|=1\\\mathbf {\Omega } =&\omega {\hat {n}}\times \mathbf {1} =\omega n_{i}{\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{j}\\\mathbf {\Omega } ^{2}=&(\omega n_{i}{\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{j})\cdot (\omega n_{k}{\hat {e}}_{k}\times {\hat {e}}_{l}\otimes {\hat {e}}_{l})=\omega ^{2}n_{i}n_{k}{\hat {e}}_{i}\times ({\hat {e}}_{k}\times {\hat {e}}_{l})\otimes {\hat {e}}_{l}\\=&\omega ^{2}n_{i}n_{k}(\delta _{il}{\hat {e}}_{k}-\delta _{ik}{\hat {e}}_{l})\otimes {\hat {e}}_{l}=\omega ^{2}n_{k}{\hat {e}}_{k}\otimes n_{i}{\hat {e}}_{i}-\omega ^{2}n_{i}n_{i}{\hat {e}}_{l}\otimes {\hat {e}}_{l}=-\omega ^{2}(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})\\\mathbf {\Omega } ^{3}=&-\omega {\hat {n}}\times \mathbf {1} \cdot \omega ^{2}(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})=-\omega ^{3}[{\hat {n}}\times \mathbf {1} \cdot \mathbf {1} -({\hat {n}}\times \mathbf {1} \cdot {\hat {n}})\otimes {\hat {n}}]=-\omega ^{3}{\hat {n}}\times \mathbf {1} \\\mathbf {\Omega } ^{4}=&\omega ^{2}({\hat {n}}\otimes {\hat {n}}-\mathbf {1} )\cdot \omega ^{2}({\hat {n}}\otimes {\hat {n}}-\mathbf {1} )=\omega ^{4}({\hat {n}}\otimes {\hat {n}}-{\hat {n}}\otimes {\hat {n}}-{\hat {n}}\otimes {\hat {n}}+\mathbf {1} )=\omega ^{4}(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})\;.\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba3cba1ae2421c96c50fff67ce21dac031e18ef1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.338ex; width:88.764ex; height:19.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\omega }}=&\omega {\hat {n}}\quad {\text{mit}}\quad |{\hat {n}}|=1\\\mathbf {\Omega } =&\omega {\hat {n}}\times \mathbf {1} =\omega n_{i}{\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{j}\\\mathbf {\Omega } ^{2}=&(\omega n_{i}{\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{j})\cdot (\omega n_{k}{\hat {e}}_{k}\times {\hat {e}}_{l}\otimes {\hat {e}}_{l})=\omega ^{2}n_{i}n_{k}{\hat {e}}_{i}\times ({\hat {e}}_{k}\times {\hat {e}}_{l})\otimes {\hat {e}}_{l}\\=&\omega ^{2}n_{i}n_{k}(\delta _{il}{\hat {e}}_{k}-\delta _{ik}{\hat {e}}_{l})\otimes {\hat {e}}_{l}=\omega ^{2}n_{k}{\hat {e}}_{k}\otimes n_{i}{\hat {e}}_{i}-\omega ^{2}n_{i}n_{i}{\hat {e}}_{l}\otimes {\hat {e}}_{l}=-\omega ^{2}(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})\\\mathbf {\Omega } ^{3}=&-\omega {\hat {n}}\times \mathbf {1} \cdot \omega ^{2}(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})=-\omega ^{3}[{\hat {n}}\times \mathbf {1} \cdot \mathbf {1} -({\hat {n}}\times \mathbf {1} \cdot {\hat {n}})\otimes {\hat {n}}]=-\omega ^{3}{\hat {n}}\times \mathbf {1} \\\mathbf {\Omega } ^{4}=&\omega ^{2}({\hat {n}}\otimes {\hat {n}}-\mathbf {1} )\cdot \omega ^{2}({\hat {n}}\otimes {\hat {n}}-\mathbf {1} )=\omega ^{4}({\hat {n}}\otimes {\hat {n}}-{\hat {n}}\otimes {\hat {n}}-{\hat {n}}\otimes {\hat {n}}+\mathbf {1} )=\omega ^{4}(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})\;.\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Oben ist die <a href="Einsteinsche_Summenkonvention" title="Einsteinsche Summenkonvention">Einsteinsche Summenkonvention</a> anzuwenden, der zufolge über in einem Produkt doppelt vorkommende Indizes von eins bis drei zu summieren ist. Nach <a href="Vollst%C3%A4ndige_Induktion" title="Vollständige Induktion">vollständiger Induktion</a> ergeben sich die Potenzen

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Omega } ^{2k}=&(-1)^{k}\omega ^{2k}(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})\\\mathbf {\Omega } ^{2k+1}=&(-1)^{k}\omega ^{2k+1}{\hat {n}}\times \mathbf {1} \end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6264e18f5baedc4ee38a80ba4395bd1be035592f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:29.989ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Omega } ^{2k}=&(-1)^{k}\omega ^{2k}(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})\\\mathbf {\Omega } ^{2k+1}=&(-1)^{k}\omega ^{2k+1}{\hat {n}}\times \mathbf {1} \end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

für k = 1, 2, 3, … (keine Summen) Mit der Definition Ω0 := 1 kann das <a href="Exponentialfunktion" title="Exponentialfunktion">Exponential</a> exp des Winkelgeschwindigkeitstensors mit der <a href="Taylorreihe#Exponentialfunktionen_und_Logarithmen" title="Taylorreihe">Taylorreihe</a> ermittelt werden:

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\exp(\mathbf {\Omega } t):=&\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\mathbf {\Omega } t)^{k}}{k!}}=\mathbf {1} +\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\mathbf {\Omega } t)^{2k}}{(2k)!}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\mathbf {\Omega } t)^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\=&\mathbf {1} +\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(\omega t)^{2k}}{(2k)!}}(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(\omega t)^{2k+1}}{(2k+1)!}}{\hat {n}}\times \mathbf {1} \\=&\mathbf {1} +[\cos(\omega t)-1](\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})+\sin(\omega t){\hat {n}}\times \mathbf {1} \;.\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53bc63d4c099212a4157794b58a5b8810750ae2c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.956ex; margin-bottom: -0.215ex; width:71.195ex; height:17.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\exp(\mathbf {\Omega } t):=&\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\mathbf {\Omega } t)^{k}}{k!}}=\mathbf {1} +\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\mathbf {\Omega } t)^{2k}}{(2k)!}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\mathbf {\Omega } t)^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\=&\mathbf {1} +\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(\omega t)^{2k}}{(2k)!}}(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(\omega t)^{2k+1}}{(2k+1)!}}{\hat {n}}\times \mathbf {1} \\=&\mathbf {1} +[\cos(\omega t)-1](\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})+\sin(\omega t){\hat {n}}\times \mathbf {1} \;.\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die letzte Gleichung stellt einen orthogonalen Tensor dar. Wenn Ω nur als schiefsymmetrischer Tensor ohne das Kreuzprodukt definiert wird, lässt sich das auf <a href="Drehmatrix#Drehmatrizen_des_Raumes_ℝ³" title="Drehmatrix">Drehungen in n Dimensionen</a> verallgemeinern.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Winkelgeschwindigkeit_des_starren_Körpers">Winkelgeschwindigkeit des starren Körpers</h2></div>

Die Winkelgeschwindigkeit eines rotierenden starren Körpers oder Bezugssystems ist eine eindeutige Größe, unabhängig von der Wahl eines Bezugspunktes oder einer Drehachse, denn an allen Punkten dreht sich die Richtung der Bahngeschwindigkeit in derselben Umlaufzeit einmal um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/73efd1f6493490b058097060a572606d2c550a06.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.494ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2\pi }" loading="lazy">. Jeder Punkt eines starren Körpers hat den gleichen Winkelgeschwindigkeitsvektor.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Eindeutigkeit">Eindeutigkeit</h3></div>

Der <a href="Starrer_K%C3%B6rper" title="Starrer Körper">starre Körper</a> möge um eine beliebige Achse rotieren. Es wird gezeigt, dass die Winkelgeschwindigkeit unabhängig ist von der Wahl des Bezugspunkts, durch den die Achse führt. Dies bedeutet, dass die Winkelgeschwindigkeit eine unabhängige Eigenschaft des rotierenden starren Körpers ist.

Der Ursprung des Laborsystems ist in O, während O1 und O2 zwei Punkte auf dem starren Körper mit den Geschwindigkeiten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}_{1}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a584cd94de01288b5a761554fcaf6e65915ab6a4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.23ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}_{1}}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}_{2}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a2ee61e3e94fd30f0635e99a3484d3d19a7c4ee8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.23ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}_{2}}" loading="lazy"> sind. Angenommen, die Winkelgeschwindigkeit relativ zu O1 bzw. O2 sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\omega }}_{1}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/547da725b9f2641df9491c979e7b0a9fee5c8cc1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.5ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}_{1}}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\omega }}_{2}.}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}_{2}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/99c757602dd67a99a9a6083c2ccdd9b6a45424f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.147ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}_{2}.}" loading="lazy"> Da Punkt P und O2 jeweils nur eine Geschwindigkeit haben, gilt:

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}_{1}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {r}}_{1}={\vec {v}}_{2}+{\vec {\omega }}_{2}\times {\vec {r}}_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/da6b9e8915a3296ca886b299864858095bad2492.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:28.474ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}_{1}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {r}}_{1}={\vec {v}}_{2}+{\vec {\omega }}_{2}\times {\vec {r}}_{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}_{2}={\vec {v}}_{1}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {r}}={\vec {v}}_{1}+{\vec {\omega }}_{1}\times ({\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2})\;.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1e87815b3a1c0979c4e75309431f3345ec2dd4b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.967ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}_{2}={\vec {v}}_{1}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {r}}={\vec {v}}_{1}+{\vec {\omega }}_{1}\times ({\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2})\;.}" loading="lazy"></dd></dl>

Einsetzen der unteren Gleichung für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}_{2}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}_{2}}</annotation>

</semantics>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\vec {\omega }}_{1}-{\vec {\omega }}_{2})\times {\vec {r}}_{2}={\vec {0}}\;.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2c2bdadf15f27802290dd1f38e72bc2c5960dc06.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.32ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle ({\vec {\omega }}_{1}-{\vec {\omega }}_{2})\times {\vec {r}}_{2}={\vec {0}}\;.}" loading="lazy"></dd></dl>

Da der Punkt P (und damit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}_{2}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c026fd0d6f679bda24121c0e1fdcfa40fbf82dce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.277ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}_{2}}" loading="lazy">) beliebig wählbar ist, folgt daraus:

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}_{1}={\vec {\omega }}_{2}\;.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c34aa90459620b6431d294ae35335ba61652e8e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.391ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}_{1}={\vec {\omega }}_{2}\;.}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Winkelgeschwindigkeit des starren Körpers ist somit unabhängig von der Wahl des Bezugspunkts der Drehachse. Somit ist beispielsweise die Messung der <a href="Gierrate" class="mw-redirect" title="Gierrate">Gierrate</a> in einem Fahrzeug unabhängig vom Einbauort des <a href="Gierratensensor" class="mw-redirect" title="Gierratensensor">Gierratensensors</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Kommutative_Addition_von_Winkelgeschwindigkeiten">Kommutative Addition von Winkelgeschwindigkeiten</h2></div>

Obwohl Drehungen im Allgemeinen in ihrer Reihenfolge nicht vertauscht werden dürfen, ist bei der Winkelgeschwindigkeit die <a href="Kommutativgesetz" title="Kommutativgesetz">Kommutativität</a> der Addition gegeben. Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit oder ganze Winkelgeschwindigkeitsvektoren addiert werden (anders als bei endlichen Drehungen, siehe Bild).

Mathematisch kann das durch Drehungen mit zwei Winkelgeschwindigkeiten in einem (infinitesimal) kleinen Zeitintervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} t}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/588a981eb3c6f32c01153f8710a7f70029b5e553.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.132ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} t}" loading="lazy"> gezeigt werden.<a href="#cite_note-3">[3]</a> Im Zeitintervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} t}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/588a981eb3c6f32c01153f8710a7f70029b5e553.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.132ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} t}" loading="lazy"> bewegt sich ein Partikel am Ort <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db2dc6ced9cc3bc7e8b9f2707cbec033f6d3759c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}'={\vec {x}}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t}">

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}'={\vec {x}}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/258a880adff52cd68c8b2aa033a842490c8bbeed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.472ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}'={\vec {x}}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t}" loading="lazy">. Eine weitere Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\omega }}_{2}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d1512e2f8e8d960f3bc9ac566da6362ae32aeb57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.5ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}_{2}}" loading="lazy"> liefert die Endposition <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}''={\vec {x}}'+{\vec {\omega }}_{2}\times {\vec {x}}'\,\mathrm {d} t}">

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</msup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}''={\vec {x}}'+{\vec {\omega }}_{2}\times {\vec {x}}'\,\mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8ccbbb2b853e3c6fe406455b103ad0cf1f2f2f92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:20.294ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}''={\vec {x}}'+{\vec {\omega }}_{2}\times {\vec {x}}'\,\mathrm {d} t}" loading="lazy"> und die Verschiebung

<mtr>

<mtd>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</msup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} {\vec {x}}_{12}:=&\ {\vec {x}}''-{\vec {x}}={\vec {x}}'+{\vec {\omega }}_{2}\times {\vec {x}}'\,\mathrm {d} t-{\vec {x}}\\=&\ ({\vec {x}}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t)+{\vec {\omega }}_{2}\times ({\vec {x}}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t)\,\mathrm {d} t-{\vec {x}}\\=&\ {\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t+{\vec {\omega }}_{2}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t+{\vec {\omega }}_{2}\times ({\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}})\,\mathrm {d} t^{2}.\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/533d423a49d6ba42d8c1ffbfda3be3d68287031e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:54.138ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} {\vec {x}}_{12}:=&\ {\vec {x}}''-{\vec {x}}={\vec {x}}'+{\vec {\omega }}_{2}\times {\vec {x}}'\,\mathrm {d} t-{\vec {x}}\\=&\ ({\vec {x}}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t)+{\vec {\omega }}_{2}\times ({\vec {x}}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t)\,\mathrm {d} t-{\vec {x}}\\=&\ {\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t+{\vec {\omega }}_{2}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t+{\vec {\omega }}_{2}\times ({\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}})\,\mathrm {d} t^{2}.\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Der <a href="Grenzwert_(Folge)" title="Grenzwert (Folge)">Grenzwert</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} t\to 0}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} t\to 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0eb6d9fb515f146d95c4647617853e46ba6b3125.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.909ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} t\to 0}" loading="lazy"> kann berechnet werden:

<msub>

<mover>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\vec {x}}}_{12}=\lim _{\mathrm {d} t\to 0}{\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}_{12}}{\mathrm {d} t}}=({\vec {\omega }}_{1}+{\vec {\omega }}_{2})\times {\vec {x}}\;.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e7cecfb31b7c0570d39c2070eed86382f740ae8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:34.209ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\vec {x}}}_{12}=\lim _{\mathrm {d} t\to 0}{\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}_{12}}{\mathrm {d} t}}=({\vec {\omega }}_{1}+{\vec {\omega }}_{2})\times {\vec {x}}\;.}" loading="lazy"></dd></dl>

Diese Geschwindigkeit entspricht einer Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\omega }}_{1}+{\vec {\omega }}_{2}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}_{1}+{\vec {\omega }}_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d1266120320c1f3335cec8c91e2cf8ed5493c51.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.84ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}_{1}+{\vec {\omega }}_{2}}" loading="lazy">. Bei umgekehrter Reihenfolge der infinitesimalen Drehungen leitet sich ein identisches Ergebnis für die Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\vec {x}}}_{21}}">

<msub>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\vec {x}}}_{21}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9044e6c4d791e88213c220638230e0b84c30dfb2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.206ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\vec {x}}}_{21}}" loading="lazy"> ab. Deswegen addieren sich Winkelgeschwindigkeiten wie Vektoren und infinitesimal kleine Drehungen sind – anders als große Drehungen – in ihrer Reihenfolge vertauschbar.

<td>Beweis mit Tensorrechnung

</td></tr>

<tr>

<td>Drehungen können mit orthogonalen Tensoren beschrieben werden, von denen zwei, Q1,2, gegeben seinen. Mit den Definitionen

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Omega } _{k}:=&{\dot {\mathbf {Q} }}_{k}\cdot \mathbf {Q} _{k}^{\top }\\{\bar {\mathbf {\Omega } }}_{k}:=&\mathbf {Q} _{k}^{\top }\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}_{k}=\mathbf {Q} _{k}^{\top }\cdot \mathbf {\Omega } _{k}\cdot \mathbf {Q} _{k}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f41fa21cdd5616bf1f89189863d6d0287a4193c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:31.258ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Omega } _{k}:=&{\dot {\mathbf {Q} }}_{k}\cdot \mathbf {Q} _{k}^{\top }\\{\bar {\mathbf {\Omega } }}_{k}:=&\mathbf {Q} _{k}^{\top }\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}_{k}=\mathbf {Q} _{k}^{\top }\cdot \mathbf {\Omega } _{k}\cdot \mathbf {Q} _{k}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

für k = 1, 2 berechnet sich die Geschwindigkeit eines Vektors <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}_{21}=\mathbf {Q} _{1}\cdot \mathbf {Q} _{2}\cdot {\vec {X}}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}_{21}=\mathbf {Q} _{1}\cdot \mathbf {Q} _{2}\cdot {\vec {X}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d17d71fef81d2c30f99e0a311fe09dff7f22613.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.767ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}_{21}=\mathbf {Q} _{1}\cdot \mathbf {Q} _{2}\cdot {\vec {X}}}" loading="lazy">, der durch Drehung aus dem festen Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {X}}}">

<mover>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {X}}}</annotation>

</semantics>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\vec {x}}}_{21}=&({\dot {\mathbf {Q} }}_{1}\cdot \mathbf {Q} _{2}+\mathbf {Q} _{1}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}_{2})\cdot {\vec {X}}\\=&\mathbf {Q} _{1}\cdot (\mathbf {Q} _{1}^{\top }\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}_{1}+{\dot {\mathbf {Q} }}_{2}\cdot \mathbf {Q} _{2}^{\top })\cdot \mathbf {Q} _{2}\cdot {\vec {X}}\\=&\mathbf {Q} _{1}\cdot ({\bar {\mathbf {\Omega } }}_{1}+\mathbf {\Omega } _{2})\cdot \mathbf {Q} _{2}\cdot {\vec {X}}\;.\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/335a12d8b7c99d216c0372d4d0ba12804441b9c5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:40.722ex; height:10.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\vec {x}}}_{21}=&({\dot {\mathbf {Q} }}_{1}\cdot \mathbf {Q} _{2}+\mathbf {Q} _{1}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}_{2})\cdot {\vec {X}}\\=&\mathbf {Q} _{1}\cdot (\mathbf {Q} _{1}^{\top }\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}_{1}+{\dot {\mathbf {Q} }}_{2}\cdot \mathbf {Q} _{2}^{\top })\cdot \mathbf {Q} _{2}\cdot {\vec {X}}\\=&\mathbf {Q} _{1}\cdot ({\bar {\mathbf {\Omega } }}_{1}+\mathbf {\Omega } _{2})\cdot \mathbf {Q} _{2}\cdot {\vec {X}}\;.\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Bei umgekehrter Reihenfolge der Rotationen, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}_{12}=\mathbf {Q} _{2}\cdot \mathbf {Q} _{1}\cdot {\vec {X}},}">

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</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}_{12}=\mathbf {Q} _{2}\cdot \mathbf {Q} _{1}\cdot {\vec {X}},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd157426e9349c1827a8112851a40448add3194e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.414ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}_{12}=\mathbf {Q} _{2}\cdot \mathbf {Q} _{1}\cdot {\vec {X}},}" loading="lazy"> ergibt sich analog die im Allgemeinen andere Geschwindigkeit

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\vec {x}}}_{12}=({\dot {\mathbf {Q} }}_{2}\cdot \mathbf {Q} _{1}+\mathbf {Q} _{2}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}_{1})\cdot {\vec {X}}=\mathbf {Q} _{2}\cdot ({\bar {\mathbf {\Omega } }}_{2}+\mathbf {\Omega } _{1})\cdot \mathbf {Q} _{1}\cdot {\vec {X}}\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53794bafb23aa539115e302d918162a4a7a780f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:58.114ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\vec {x}}}_{12}=({\dot {\mathbf {Q} }}_{2}\cdot \mathbf {Q} _{1}+\mathbf {Q} _{2}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}_{1})\cdot {\vec {X}}=\mathbf {Q} _{2}\cdot ({\bar {\mathbf {\Omega } }}_{2}+\mathbf {\Omega } _{1})\cdot \mathbf {Q} _{1}\cdot {\vec {X}}\,.}" loading="lazy"></dd></dl>

Diese Identitäten gelten bei beliebig großen Rotationen. Berechnung der Geschwindigkeiten im Zustand Q1,2 = 1 liefert die Winkelgeschwindigkeiten am Ort <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}:={\vec {x}}_{12}={\vec {x}}_{21}={\vec {X}}.}">

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}:={\vec {x}}_{12}={\vec {x}}_{21}={\vec {X}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98038907640fd89945c266393b80bbe69fdad920.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:20.311ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}:={\vec {x}}_{12}={\vec {x}}_{21}={\vec {X}}.}" loading="lazy"> Dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bar {\mathbf {\Omega } }}_{1,2}=\mathbf {\Omega } _{1,2}}">

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bar {\mathbf {\Omega } }}_{1,2}=\mathbf {\Omega } _{1,2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c33f7f709557aaf0c2e00e825d50b19ce1137b84.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.628ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\bar {\mathbf {\Omega } }}_{1,2}=\mathbf {\Omega } _{1,2}}" loading="lazy"> und die obigen Gleichungen spezialisieren sich zu

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\vec {x}}}_{21}=&(\mathbf {\Omega } _{1}+\mathbf {\Omega } _{2})\cdot {\vec {x}}=({\vec {\omega }}_{1}+{\vec {\omega }}_{2})\times {\vec {x}}\\{\dot {\vec {x}}}_{12}=&(\mathbf {\Omega } _{2}+\mathbf {\Omega } _{1})\cdot {\vec {x}}=({\vec {\omega }}_{2}+{\vec {\omega }}_{1})\times {\vec {x}}\,,\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/afc679a9ac9765de103e5555bcd4489e2f5f4880.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:37.992ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\vec {x}}}_{21}=&(\mathbf {\Omega } _{1}+\mathbf {\Omega } _{2})\cdot {\vec {x}}=({\vec {\omega }}_{1}+{\vec {\omega }}_{2})\times {\vec {x}}\\{\dot {\vec {x}}}_{12}=&(\mathbf {\Omega } _{2}+\mathbf {\Omega } _{1})\cdot {\vec {x}}=({\vec {\omega }}_{2}+{\vec {\omega }}_{1})\times {\vec {x}}\,,\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

siehe <a href="#Winkelgeschwindigkeitstensor_und_Winkelgeschwindigkeit">Winkelgeschwindigkeitstensor und Winkelgeschwindigkeit</a>. Weil die Addition von Tensoren kommutativ ist, stimmen die Geschwindigkeiten überein:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\vec {x}}}_{21}={\dot {\vec {x}}}_{12}={\vec {v}}=({\vec {\omega }}_{1}+{\vec {\omega }}_{2})\times {\vec {x}}=({\vec {\omega }}_{2}+{\vec {\omega }}_{1})\times {\vec {x}}\;.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33a151d06fe7a98e0ec22dc8ce4a4640ecc8e176.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:48.913ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\vec {x}}}_{21}={\dot {\vec {x}}}_{12}={\vec {v}}=({\vec {\omega }}_{1}+{\vec {\omega }}_{2})\times {\vec {x}}=({\vec {\omega }}_{2}+{\vec {\omega }}_{1})\times {\vec {x}}\;.}" loading="lazy"></dd></dl>

</td></tr></tbody></table>

Somit ist die Kommutativität der Addition der Winkelgeschwindigkeiten erwiesen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungen_und_Beispiele">Anwendungen und Beispiele</h2></div>

Die Winkelgeschwindigkeit tritt in vielen Gleichungen und Anwendungsfällen der Physik, der <a href="Astronomie" title="Astronomie">Astronomie</a> oder der <a href="Technik" title="Technik">Technik</a> auf.

<ul><li>Ein Himmelskörper, der sich in einer Entfernung R von der Erde mit Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{t}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{t}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7be17a7e5bec78adf7afc13d266bdd9514963783.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.954ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle v_{t}}" loading="lazy"> senkrecht zur <a href="Visur" title="Visur">Sehlinie</a> bewegt, zeigt am Himmel eine scheinbare Winkelgeschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu =v_{t}/R}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu =v_{t}/R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/557eec85951f7f067b55c5e49158b3373fb2ac6c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.38ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mu =v_{t}/R}" loading="lazy">. Bei <a href="Meteor" title="Meteor">Meteoren</a> (Sternschnuppen) kann sie bis zu 90° pro Sekunde ausmachen, <a href="Erdnaher_Asteroid" title="Erdnaher Asteroid">sehr</a> nahe <a href="Kleinplanet" title="Kleinplanet">Kleinplaneten</a> oder Kometen können sich am Himmel einige Grad pro Stunde bewegen. Bei Sternen wird die Winkelgeschwindigkeit in <a href="Winkelsekunde" title="Winkelsekunde">Winkelsekunden</a> pro Jahr angegeben und <a href="Eigenbewegung_(Astronomie)" title="Eigenbewegung (Astronomie)">Eigenbewegung</a> genannt.</li>

<li>Nach dem <a href="Keplersche_Gesetze" title="Keplersche Gesetze">dritten Kepler’schen Gesetz</a> verhalten sich die Quadrate der Umlaufzeiten T der Planeten wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen a ihrer Bahnen. Die Winkelgeschwindigkeiten verhalten sich demnach wie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega \propto 1/a^{3/2}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega \propto 1/a^{3/2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/17e560b2190f072e3af5ffc407e9c9a65d2f0be7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.797ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \omega \propto 1/a^{3/2}}" loading="lazy"> („Kepler-Rotation“). Gemäß dem zweiten Kepler’schen Gesetz ist die Winkelgeschwindigkeit eines Planeten auf einer elliptischen Umlaufbahn in Bezug auf die Sonne vom jeweiligen Abstand abhängig und variiert somit längs der Bahn. Sie ist am größten, wenn der Planet sich im <a href="Perihel" class="mw-redirect" title="Perihel">Perihel</a> befindet, und am kleinsten, wenn er sich im <a href="Aphel" class="mw-redirect" title="Aphel">Aphel</a> befindet.</li>

<li>Bei der Rotation eines <a href="Starrer_K%C3%B6rper" title="Starrer Körper">starren Körpers</a> um eine ortsfeste Achse ist die Winkelgeschwindigkeit ω im Gegensatz zur Geschwindigkeit v vom Radius unabhängig. Seine <a href="Rotationsenergie" title="Rotationsenergie">Rotationsenergie</a> und sein <a href="Drehimpuls" title="Drehimpuls">Drehimpuls</a> sind Funktionen seiner Winkelgeschwindigkeit.</li>

<li>Die Winkelgeschwindigkeit eines Rotors in einem <a href="Elektromotor" title="Elektromotor">Elektromotor</a>, der sich konstant mit 3.000 Umdrehungen pro Minute dreht, beträgt</li></ul>

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</mstyle>

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</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega =2\pi \cdot 3000{\tfrac {1}{\text{min}}}\cdot {\tfrac {1\,{\text{min}}}{60\,{\text{s}}}}=314{,}16\,{\tfrac {\text{rad}}{\text{s}}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/804185d6dbdfb55662fc607edd003d9e12d0953f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:37.217ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \omega =2\pi \cdot 3000{\tfrac {1}{\text{min}}}\cdot {\tfrac {1\,{\text{min}}}{60\,{\text{s}}}}=314{,}16\,{\tfrac {\text{rad}}{\text{s}}}.}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<dd>Bei solchen Angaben von <a href="Drehzahl" title="Drehzahl">Drehzahlen</a> werden häufig Einheiten wie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {\tfrac {U}{min}} }">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {\tfrac {U}{min}} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1105e5c791a1958e4ac9d3794fe9c9759fcf0d8e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:3.576ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {\tfrac {U}{min}} }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {\tfrac {1}{min}} }">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {\tfrac {1}{min}} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/619eb4c061ab864d85cacb9f418abdd848879376.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:3.576ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {\tfrac {1}{min}} }" loading="lazy"> verwendet, siehe dazu den Artikel <a href="Drehzahl#Definition_und_Einheit" title="Drehzahl">Drehzahl</a>.</dd></dl>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a713d16c489051d4f515e12b1f86061c6be799b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.5ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{0}}" loading="lazy"> die Kreisfrequenz der harmonischen Schwingung eines <a href="Pendel" title="Pendel">Pendels</a> mit der <a href="Amplitude" title="Amplitude">Amplitude</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\varphi }}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\varphi }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c29e64043bc6702ec51a4c08ba1a94dc3b7412e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.535ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\varphi }}}" loading="lazy">. Dann berechnet sich die Winkelgeschwindigkeit des Pendels als Funktion der Zeit:</li></ul>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega (t)={\dot {\varphi }}(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}[{\hat {\varphi }}\cdot \sin(\omega _{0}t)]={\hat {\varphi }}\cdot \omega _{0}\cdot \cos(\omega _{0}t)\;.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e91b8506bb8cddd849ac25cea21f7cef04a5eee7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:49.999ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \omega (t)={\dot {\varphi }}(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}[{\hat {\varphi }}\cdot \sin(\omega _{0}t)]={\hat {\varphi }}\cdot \omega _{0}\cdot \cos(\omega _{0}t)\;.}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

<ul><li>Bei <a href="Flugzeug" title="Flugzeug">Flugzeugen</a> oder <a href="Pkw" class="mw-redirect" title="Pkw">Pkw</a> werden die Winkelgeschwindigkeiten in Komponenten des fahrzeugfesten Koordinatensystems angegeben. Entsprechend den x-, y-, z-Komponenten spricht man von Roll/Wankgeschwindigkeit, Nickgeschwindigkeit, Giergeschwindigkeit. Näheres dazu findet sich

<ul><li>im Flugwesen unter <a href="Rollachse" class="mw-redirect" title="Rollachse">Rollachse</a>, <a href="Querachse" title="Querachse">Querachse</a>, <a href="Gierachse" title="Gierachse">Gierachse</a> und</li>

<li>im Fahrzeugbau unter <a href="Fahrdynamik" title="Fahrdynamik">Fahrdynamik</a>.</li></ul></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

Die Winkelgeschwindigkeit wird in vielen Lehrbüchern und Formelsammlungen der Natur- und Ingenieurwissenschaften behandelt.

<ul><li><a href="Horst_St%C3%B6cker" title="Horst Stöcker">Horst Stöcker</a>: <cite style="font-style:italic">Taschenbuch der Physik</cite>. 6. Auflage. Harri Deutsch, 2010, ISBN 978-3-8171-1860-1.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Winkelgeschwindigkeit&rft.au=Horst+St%C3%B6cker&rft.btitle=Taschenbuch+der+Physik&rft.date=2010&rft.edition=6&rft.genre=book&rft.isbn=9783817118601&rft.pub=Harri+Deutsch" style="display:none"> </li>

<li>Lothar Papula: <cite style="font-style:italic">Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 1</cite>. 12. Auflage. Vieweg+Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0545-4.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Winkelgeschwindigkeit&rft.au=Lothar+Papula&rft.btitle=Mathematik+f%C3%BCr+Ingenieure+und+Naturwissenschaftler+1&rft.date=2009&rft.edition=12&rft.genre=book&rft.isbn=9783834805454&rft.pub=Vieweg%2BTeubner" style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-KnaebelJäger2009-1"><a href="#cite_ref-KnaebelJäger2009_1-0">↑</a> Manfred Knaebel, Helmut Jäger, Roland Mastel: <cite style="font-style:italic">Technische Schwingungslehre</cite>. Springer-Verlag, 2009, ISBN 978-3-8351-0180-7, S. 8 ff. (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=8BIvfpZO-hMC&pg=PA8&redir_esc=y&hl=de">books.google.com.</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Winkelgeschwindigkeit&rft.au=Manfred+Knaebel%2C+Helmut+J%C3%A4ger%2C+Roland+Mastel&rft.btitle=Technische+Schwingungslehre&rft.date=2009&rft.genre=book&rft.isbn=9783835101807&rft.pages=8+ff.&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Jürgen Eichler: <cite style="font-style:italic">Physik. Grundlagen für das Ingenieurstudium – kurz und prägnant</cite>. Springer DE, 2011, ISBN 978-3-8348-9942-2, S. 112, <a href="Uniform_Resource_Name" title="Uniform Resource Name">urn</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:1111-20110310734">nbn:de:1111-20110310734</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=rqrjD7PL4ngC&pg=PA112#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Winkelgeschwindigkeit&rft.au=J%C3%BCrgen+Eichler&rft.btitle=Physik.+Grundlagen+f%C3%BCr+das+Ingenieurstudium+-+kurz+und+pr%C3%A4gnant&rft.date=2011&rft.genre=book&rft.isbn=9783834899422&rft.pages=112&rft.pub=Springer+DE" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Institut für Physik an der Universität Rostock (Hrsg.): <cite style="font-style:italic">Theoretische Physik II – Theoretische Mechanik</cite>. Kapitel 5 – Starrer Körper und Kreiseltheorie. S. 109 (<a class="external text" href="https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=http://www.qms.uni-rostock.de/fileadmin/Physik_Festkoerpertheorie/Lehre_Scheel/Theoretische_Physik_II_-_Theoretische_Mechanik/Theor_Phy_II_Kapitel_5_-_Starrer_Koerper_und_Kreiseltheorie.pdf">Die nachstehende Seite ist nicht mehr abrufbar</a>. (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://timetravel.mementoweb.org/list/2010/http://www.qms.uni-rostock.de/fileadmin/Physik_Festkoerpertheorie/Lehre_Scheel/Theoretische_Physik_II_-_Theoretische_Mechanik/Theor_Phy_II_Kapitel_5_-_Starrer_Koerper_und_Kreiseltheorie.pdf">Suche in Webarchiven</a>.) <a rel="nofollow" class="external text" href="http://deadurl.invalid/http://www.qms.uni-rostock.de/fileadmin/Physik_Festkoerpertheorie/Lehre_Scheel/Theoretische_Physik_II_-_Theoretische_Mechanik/Theor_Phy_II_Kapitel_5_-_Starrer_Koerper_und_Kreiseltheorie.pdf">@1</a><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.qms.uni-rostock.de/fileadmin/Physik_Festkoerpertheorie/Lehre_Scheel/Theoretische_Physik_II_-_Theoretische_Mechanik/Theor_Phy_II_Kapitel_5_-_Starrer_Koerper_und_Kreiseltheorie.pdf">@2</a>Vorlage:Toter Link/www.qms.uni-rostock.de<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.qms.uni-rostock.de/fileadmin/Physik_Festkoerpertheorie/Lehre_Scheel/Theoretische_Physik_II_-_Theoretische_Mechanik/Theor_Phy_II_Kapitel_5_-_Starrer_Koerper_und_Kreiseltheorie.pdf"> online</a> [abgerufen am 6. Juni 2017]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Winkelgeschwindigkeit&rft.btitle=Theoretische+Physik+II+-+Theoretische+Mechanik&rft.genre=book&rft.pages=109" style="display:none">

</li>

</ol>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4265086-0">4265086-0</a> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-09-19" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Winkelgeschwindigkeit&oldid=259872812">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

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